ヴァイルの定理 (幾何学)

幾何学において、ヴァイルの定理（ヴァイルのていり、英:Weill's theorem）とは、多角形の外接円と内接円に関する定理である^[1]^[2]^[3]^[4]。ヴァイル・リウヴィル（Weill Liouville）に因んで名付けられた^[5]。

定理[編集]

nを3以上の整数とする。ポンスレの閉形定理（英語版）によれば、ある2円を外接円、内接円とするn角形が一つあれば、そのようなn角形は無数に存在する^[6]。このとき、n角形の辺と内接円の接点が成す多角形の幾何中心は一定である。これをヴァイルの定理と言う。また、その点はヴァイル点（Weill point）と呼ばれる。

1888年、Caseyはn個の接点のうちm個（mは、n≧m>0を満たす整数）の点の幾何中心の軌跡は定円であることを発見した^[1]^[3]。ヴァイル点はn=mの場合である。

三角形のヴァイル点[編集]

三角形のヴァイル点は、接触三角形の重心として定義される（三角形の重心は幾何中心と一致する）。Encyclopedia of Triangle centersでは三角形の中心としてX(354)に登録されている。ヴァイル点 $W$ は $OI$ 線上に存在し、ヴァイル点と外心は、内心を

$WI:IO=r:3R=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c):6abc$

に内分する。ここで $r,R$ はそれぞれ内接円、外接円の半径である。ヴァイル点の三線座標は以下の式で与えられる^[7]。

$(b-c)^{2}-a(b+c):(c-a)^{2}-b(a+c):(a-b)^{2}-c(a+b)$

三角形のヴァイル点はアダムス円と3辺の6つ交点の幾何中心、コンウェイ円と3辺の6つの交点の幾何中心などと一致する^[7]。

出典[編集]

^ ^a ^b Weisstein, Eric W.. “Weill's Theorem” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月14日閲覧。
^ M'Clelland, William J. (1891). A treatise on the geometry of the circle and some extensions to conic sections by the method of reciprocation, with numerous examples. University of California Libraries. London, New York, Macmillan
^ ^a ^b Casey, John (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples. University of California Libraries. Dublin : Hodges, Figgis & co.
^ Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson
^ Weisstein, Eric W.. “Weill Point” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月15日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Poncelet's Porism” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月14日閲覧。
^ ^a ^b “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(354) = WEILL POINT”. faculty.evansville.edu. 2024年5月14日閲覧。

[:0-1] Weisstein, Eric W.. “Weill's Theorem” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月14日閲覧。

[2] M'Clelland, William J. (1891). A treatise on the geometry of the circle and some extensions to conic sections by the method of reciprocation, with numerous examples. University of California Libraries. London, New York, Macmillan

[:1-3] Casey, John (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples. University of California Libraries. Dublin : Hodges, Figgis & co.

[4] Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson

[5] Weisstein, Eric W.. “Weill Point” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月15日閲覧。

[6] Weisstein, Eric W.. “Poncelet's Porism” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月14日閲覧。

[:2-7] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(354) = WEILL POINT”. faculty.evansville.edu. 2024年5月14日閲覧。

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